Ich höre zurzeit das Buch „Linked“ von Albert-Laszlo Barabasi und dabei werden mit etwas das vollkommen neu für mich ist: „Power Laws“ (Potenzgesetze) und „Scale-free network“ (Skalenfreie Netzwerke).
Potenzgesetze (engl. power laws) gehören zu den Skalengesetzen und beschreiben die Skaleninvarianz vieler natürlicher Phänomene als polynomielle Abhängigkeiten zweier Größen y und x in der Form
Dabei ist a der Vorfaktor und b der Exponent des Potenzgesetzes, und die durch + ... angedeuteten Zusatzterme sind vernachlässigbar. Im Allgemeinen ist a irrelevant, d.h. man interessiert sich nur für den Exponenten des Potenzgesetzes.
Skalenfreie oder Skaleninvariante Netzwerke oder Netze sind Netzwerke, die keine typische Anzahl von Verbindungen pro Knoten aufweisen. Weil ihr Verlinkungsgrad keiner Skala folgt, bezeichnet man sie als skaleninvariant.
Die Verteilung von Knoten und der Anzahl k von Verbindungen folgt einem Potenzgesetz
wobei γ eine einheitslose Zahl ist. ALLES KLAR??!??
Skalenfreie Netzwerke werden in der Netzwerktheorie untersucht und gelten als relativ ausfallsicher. Die Robustheit solcher Netzwerke besteht allerdings nur bei zufälligen Ausfällen von Knoten. Durch strategisches Vorgehen beim Ausschalten einzelner Knoten (nämlich derjenigen mit hohem Verlinkungsgrad) kann ein skalenfreies Netzwerk schnell in kleine Einzelnetzwerke zerfallen.
Beispiele für skalenfreie und partiell-skalenfreie Netzwerke sind:
- Netz der Zusammenarbeit von Schauspielern in Filmen (γ = 3), siehe auch Bacon-Zahl
- Stromnetz - z.B. der westlichen USA (γ = 4)
- Der Zitationsgraph (Graph von Zitierungen) von wissenschaftlichen Artikeln (k ist die Zahl der erhaltenen Zitationen, γ = 3)
- Verteilung Einwohnerzahlen von Städten (γ = 2,3)
- Verlinkungsgrad der deutschsprachigen Wikipedia
Viele Kleine-Welt-Netzwerke sind auch skalenfrei bzw. umgekehrt, wobei zu beachten ist, dass normale Zufallsgraphen nicht skalenfrei sind.
Barabási und Albert schlugen ein vielbeachtetes Modell zur Erzeugung skalenfreier Netzwerke vor. Dabei wird mit einer kleinen Anzahl m0 von Knoten begonnen und in jedem Schritt ein weiterer Knoten hinzugefügt. Der neue Knoten wird jeweils mit m bereits vorhandenen Knoten verbunden, wobei die Verbindungs-Wahrscheinlichkeit proportional zur Anzahl von Kanten ist, die ein Knoten bereits besitzt. Dieses Prinzip wird auch als preferential attachment bezeichnet. Es lässt sich zeigen, dass in diesem Modell γ gegen den Wert 3 strebt.
Viele Netzwerkwahrscheinlichkeiten, z. B. finanzielle Verteilungen, bestehen aus nicht-Gauß'schen Verteilungen mit skalenfreien Ausläuferbereichen (sog. "fat tails"), die das erhöhte Risiko für extreme Gewinne bzw. Verluste(!) quantifizieren, während bei den Gaußverteilungen selbst, mit denen die üblichen Standardbeispiele für Zufallsprozesse formuliert werden, diese extremen Risikobereiche fatalerweise automatisch wegfallen.
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